MathVN

Phương trình đường tròn

PT đường tròn; tiếp tuyến; vị trí tương đối đường thẳng - đường tròn

Trung bìnhhình học

Lý thuyết

Đường tròn (O;R)(O;R) là tập hợp các điểm cách tâm OO một khoảng bằng RR. Phương trình đường tròn tâm I(a,b)I(a,b) bán kính RR: (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2. Dạng khai triển: x2+y2−2ax−2by+(a2+b2−R2)=0x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-R^2)=0, viết gọn x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 với R=(D/2)2+(E/2)2−F>0R=\sqrt{(D/2)^2+(E/2)^2-F}>0. Vị trí tương đối đường thẳng dd và đường tròn (O;R)(O;R), dùng d0=d(O,d)d_0 = d(O,d): - d0<Rd_0 < R: cắt nhau (2 điểm chung) - d0=Rd_0 = R: tiếp xúc (tiếp tuyến) - d0>Rd_0 > R: không giao Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)M(x_0,y_0) trên đường tròn (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2: (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=R2(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^2 Phần nâng cao: tìm tâm và bán kính từ dạng khai triển bằng cách hoàn thiện bình phương.

Điểm cần nhớ

  • PT đường tròn: (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2; tâm (a,b)(a,b), bán kính RR.
  • Dạng khai triển: tìm tâm (−D/2,−E/2)(-D/2,-E/2) và R=D2/4+E2/4−FR=\sqrt{D^2/4+E^2/4-F}.
  • Đường thẳng tiếp xúc đường tròn: d(O,d)=Rd(O,d)=R.
  • Điểm nằm trên đường tròn nếu thay vào phương trình cho 0.
  • Hai đường tròn tiếp ngoài: d(O1,O2)=R1+R2d(O_1,O_2)=R_1+R_2.

Lỗi hay gặp

  • Đường tròn x2+y2+4x−6y+4=0x^2+y^2+4x-6y+4=0 có tâm (4,−6)(4,-6).
    Sửa: Tâm là (−D/2,−E/2)=(−2,3)(-D/2,-E/2)=(-2,3). Dấu đã đổi khi so sánh với (x−a)2+(y−b)2(x-a)^2+(y-b)^2.
  • Điểm MM trên đường tròn nếu OM>ROM>R.
    Sửa: MM thuộc đường tròn khi OM=ROM=R, thuộc miền trong khi OM<ROM<R.

Thú vị: Định vị điện thoại không cần GPS hoạt động bằng cách giao các đường tròn phủ sóng của 3 trạm phát — đúng bài toán đường tròn lớp 10!

Ứng dụng thực tế

Phương trình đường tròn mô tả mọi quỹ đạo và vùng có bán kính cố định.

  • Viễn thông: Vùng phủ sóng của trạm phát là hình tròn quanh trạm.
  • GPS: Mỗi trạm xác định một đường tròn vị trí; giao các đường tròn cho tọa độ.
  • Thiết kế: Bánh răng, vòng bi, chi tiết tròn trong cơ khí.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Tìm tâm, bán kính: x2+y2−4x+6y−3=0x^2+y^2-4x+6y-3=0

Lời giải

Hoàn thiện bình phương: (x−2)2+(y+3)2=16(x-2)^2+(y+3)^2=16 Tâm I(2,−3)I(2,-3), R=4R=4
VÍ DỤ 2
Tiếp tuyến với (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25 tại M(4,6)M(4,6)

Lời giải

(4−1)(x−1)+(6−2)(y−2)=25(4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25 3(x−1)+4(y−2)=253(x-1)+4(y-2)=25 3x+4y−36=03x+4y-36=0

Bài tập thử

1

Đường tròn (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9 có tâm

A.(1;2)
B.(-1;-2)
C.(2;1)
D.(0;0)
2

Đường tròn (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9 có bán kính

A.3
B.9
C.\sqrt3
D.1

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập