MathVN

Giá trị lượng giác của góc 0°–180°

GTLG của góc 0°–180°; quan hệ giữa các GTLG; giá trị đặc biệt

Cơ bảnlượng giác

Lý thuyết

Lượng giác mở rộng khái niệm sin/cos/tan từ tam giác sang đường tròn đơn vị, cho phép tính với mọi góc thực. Đường tròn đơn vị: điểm M(cos⁡α,sin⁡α)M(\cos\alpha, \sin\alpha) ứng với góc α\alpha (radian). Các hệ thức cơ bản: - sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 - tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - 1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} Công thức cộng: sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b; cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a\pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b. Công thức nhân đôi: sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a\cos a; cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 1-2\sin^2 a. Giá trị đặc biệt (cần thuộc lòng): sin⁡30°=12\sin 30°=\frac{1}{2}, sin⁡45°=22\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60°=32\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}. Phần nâng cao: biến đổi tích thành tổng và ngược lại — dùng trong tích phân và phương trình lượng giác.

Điểm cần nhớ

  • sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2+\cos^2=1 — đồng nhất thức nền tảng.
  • Các góc liên quan: sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x; cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x.
  • Góc bù: tổng 90°90°; góc phụ: tổng 180°180°.
  • sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a=2\sin a\cos a; cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a=1-2\sin^2 a.
  • Radian: 180°=π180°=\pi rad; 1°=π/1801°=\pi/180 rad.

Lỗi hay gặp

  • sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b)=\sin a+\sin b.
    Sửa: Sai — đây không phải phân phối. Đúng: sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
  • cos⁡2a=2cos⁡a\cos 2a = 2\cos a.
    Sửa: Đúng: cos⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a\cos 2a = 2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a=\cos^2 a-\sin^2 a.

Thú vị: Từ \"sin\" bắt nguồn từ một chuỗi dịch nhầm: tiếng Phạn \"jya\" → tiếng Ả Rập → tiếng Latin \"sinus\" (nghĩa là... vịnh/nếp gấp)!

Ứng dụng thực tế

Giá trị lượng giác của góc là cầu nối giữa góc và tỉ lệ độ dài — nền của đo đạc.

  • Đo đạc: Tính chiều cao tòa nhà qua góc nâng và khoảng cách.
  • Xây dựng: Tính độ dốc mái nhà, đường dốc theo góc nghiêng.
  • Định vị: Sin/cos góc dùng phân tích lực, hướng chuyển động.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Cho sin⁡a=3/5\sin a=3/5, a∈(0,π/2)a\in(0,\pi/2). Tính cos⁡a\cos a, tan⁡a\tan a.

Lời giải

cos⁡a=1−9/25=4/5\cos a=\sqrt{1-9/25}=4/5 $\tan a=\sin a/\cos a=3/4
VÍ DỤ 2
Tính sin⁡75°\sin 75°

Lời giải

sin⁡75°=sin⁡(45°+30°)=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin45°\cos30°+\cos45°\sin30° =22⋅32+22⋅12=6+24=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Bài tập thử

1

Giá trị sin⁡90∘\sin 90^{\circ} bằng

A.1
B.0
C.-1
D.\dfrac12
2

Giá trị cos⁡0∘\cos 0^{\circ} bằng

A.1
B.0
C.-1
D.\dfrac12

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập