MathVN

Phương trình bậc hai

Giải PT bậc hai, biệt thức Δ; PT quy về bậc hai; PT chứa căn cơ bản

Trung bìnhđại số

Lý thuyết

Phương trình bậc hai ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (a≠0a\neq 0) là phương trình quan trọng nhất trong chương trình phổ thông. Biệt thức Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac quyết định số nghiệm: - Δ>0\Delta > 0: hai nghiệm phân biệt x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} - Δ=0\Delta = 0: nghiệm kép x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a} - Δ<0\Delta < 0: vô nghiệm thực Hệ thức Viète: nếu x1,x2x_1, x_2 là hai nghiệm thì x1+x2=−bax_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} và x1x2=cax_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. Ứng dụng Viète: đặt S=x1+x2S = x_1+x_2, P=x1x2P = x_1 x_2. Tính nhanh các biểu thức đối xứng: x12+x22=S2−2Px_1^2+x_2^2 = S^2-2P; ∣x1−x2∣=S2−4P|x_1-x_2| = \sqrt{S^2-4P}. Phần nâng cao — phương trình bậc hai ẩn mm: tìm mm để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện. Luôn kiểm tra Δ≥0\Delta \geq 0 khi đề bài nói "có hai nghiệm".

Điểm cần nhớ

  • Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac: >0>0 hai nghiệm; =0=0 nghiệm kép; <0<0 vô nghiệm.
  • Viète: x1+x2=−b/ax_1+x_2=-b/a, x1x2=c/ax_1x_2=c/a.
  • x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=S2−2Px_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P.
  • Phương trình tham số mm: kết hợp điều kiện bài + Δ≥0\Delta\geq 0.

Lỗi hay gặp

  • Giải x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 bằng Viète mà không kiểm tra Δ\Delta.
    Sửa: Δ=25−24=1>0\Delta=25-24=1>0 nên có hai nghiệm phân biệt. Viète: S=5S=5, P=6P=6: x1=2x_1=2, x2=3x_2=3.
  • Kết luận phương trình x2+x+1=0x^2+x+1=0 có nghiệm kép.
    Sửa: Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3<0: vô nghiệm thực, không phải nghiệm kép.

Thú vị: Công thức nghiệm phương trình bậc hai đã được người Babylon biết tới từ ~4000 năm trước, khắc trên các bảng đất sét!

Ứng dụng thực tế

Phương trình bậc hai xuất hiện mỗi khi có đại lượng bình phương — diện tích, quỹ đạo, năng lượng.

  • Vật lý: Tính thời gian rơi của vật từ phương trình chuyển động bậc hai.
  • Kỹ thuật: Thiết kế kích thước khi biết diện tích/thể tích dẫn tới PT bậc hai.
  • Tài chính: Một số mô hình lãi/giá dẫn tới phương trình bậc hai.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Giải 2x2−7x+3=02x^2-7x+3=0

Lời giải

Δ=49−24=25>0\Delta=49-24=25>0 x=7±54x=\frac{7\pm 5}{4}: x1=3x_1=3, x2=12x_2=\frac{1}{2}
VÍ DỤ 2
Tìm mm để x2−2mx+m+2=0x^2-2mx+m+2=0 có hai nghiệm dương

Lời giải

ĐK có nghiệm: Δ′=m2−m−2≥0⇒m≤−1\Delta'=m^2-m-2\geq 0\Rightarrow m\leq -1 hoặc m≥2m\geq 2 Hai nghiệm dương: S=2m>0⇒m>0S=2m>0\Rightarrow m>0 và P=m+2>0⇒m>−2P=m+2>0\Rightarrow m>-2 Kết hợp: m≥2m\geq 2

Bài tập thử

1

Biệt thức Δ\Delta của ax2+bx+cax^{2}+bx+c là

A.b^{2}-4ac
B.b^{2}+4ac
C.4ac-b^{2}
D.a^{2}-b
2

Nghiệm của x2−4=0x^{2}-4=0 là

A.x=\pm2
B.x=2
C.x=4
D.x=-4

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập