MathVN

Thống kê và số gần đúng

Số đặc trưng mẫu chưa ghép nhóm (TB, trung vị, mốt, phương sai); số gần đúng, sai số

Cơ bảnthống kê

Lý thuyết

Thống kê mô tả cung cấp công cụ tóm tắt và trực quan hóa dữ liệu. Đây là nền tảng để đọc hiểu số liệu trong cuộc sống. Các đại lượng trung tâm: - Trung bình cộng xˉ=∑xini∑ni\bar{x} = \dfrac{\sum x_i n_i}{\sum n_i} (trung tâm thường dùng nhất) - Trung vị MeM_e: giá trị chia dữ liệu sắp xếp thành hai nửa bằng nhau - Mốt (yếu vị) MoM_o: giá trị xuất hiện nhiều nhất Đo độ phân tán: - Phương sai s2=∑ni(xi−xˉ)2∑nis^2 = \dfrac{\sum n_i(x_i-\bar{x})^2}{\sum n_i} - Độ lệch chuẩn s=s2s = \sqrt{s^2} — cùng đơn vị với dữ liệu, dễ diễn giải hơn phương sai Biểu đồ thường dùng: biểu đồ cột (so sánh), biểu đồ tần suất/histogram (phân phối), biểu đồ hộp (box plot, tóm tắt 5 số). Phần nâng cao: từ bảng tần số ghép nhóm, tính ước lượng trung bình và phương sai bằng cách dùng trung điểm của mỗi nhóm.

Điểm cần nhớ

  • Trung bình xˉ\bar{x}: bị ảnh hưởng bởi ngoại lệ; trung vị ổn định hơn.
  • Phương sai đo mức độ phân tán quanh trung bình.
  • Độ lệch chuẩn cùng đơn vị với số liệu.
  • s2=0s^2=0: mọi giá trị đều bằng trung bình.
  • Mốt: giá trị có tần số cao nhất — tập số liệu có thể có nhiều mốt.

Lỗi hay gặp

  • Trung bình = tổng tất cả / số hạng, không cần nhân tần số.
    Sửa: Nếu dùng bảng tần số: xˉ=∑xini/∑ni\bar{x}=\sum x_i n_i / \sum n_i; phải nhân mỗi giá trị với tần số tương ứng.
  • Đồng nhất phương sai và độ lệch chuẩn.
    Sửa: Phương sai s2s^2 (bình phương đơn vị); độ lệch chuẩn s=s2s=\sqrt{s^2} (cùng đơn vị gốc).

Thú vị: Số gần đúng và sai số quan trọng đến mức một lỗi làm tròn nhỏ từng khiến tên lửa Patriot bắn trượt năm 1991 — toán \"số gần đúng\" là chuyện sống còn!

Ứng dụng thực tế

Thống kê mô tả tóm tắt dữ liệu thành vài con số để ra quyết định.

  • Y tế: Theo dõi chỉ số sức khỏe trung bình của cộng đồng.
  • Kinh doanh: Phân tích doanh số trung bình, xu hướng bán hàng.
  • Thể thao: Thống kê điểm số, hiệu suất cầu thủ.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Số liệu: 3, 5, 5, 7, 9. Tính trung bình và trung vị.

Lời giải

xˉ=(3+5+5+7+9)/5=29/5=5,8\bar{x}=(3+5+5+7+9)/5=29/5=5{,}8 Sắp xếp tăng dần: 3,5,5,7,93,5,5,7,9; trung vị = phần tử thứ 3 = 55
VÍ DỤ 2
Bảng tần số: giá trị 10,20,30 với tần số 3,5,2. Tính xˉ\bar{x}.

Lời giải

xˉ=(10⋅3+20⋅5+30⋅2)/(3+5+2)=200/10=20\bar{x}=(10\cdot3+20\cdot5+30\cdot2)/(3+5+2)=200/10=20

Bài tập thử

1

Trung bình cộng của 1,2,3,4,51,2,3,4,5 là

A.3
B.15
C.2{,}5
D.5
2

Trung vị của 1,3,5,7,91,3,5,7,9 là

A.5
B.3
C.7
D.4

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập