MathVN

Xác suất cổ điển

Phép thử, biến cố, không gian mẫu; định nghĩa cổ điển; tính xác suất biến cố

Trung bìnhxác suất

Lý thuyết

Xác suất đo mức độ khả năng xảy ra của một sự kiện, nhận giá trị trong [0,1][0,1]. Không gian mẫu Ω\Omega: tập tất cả kết quả có thể. Biến cố A⊂ΩA \subset \Omega. Xác suất cổ điển (khi các kết quả đồng đều): P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}. Quy tắc đếm: - Quy tắc cộng: chọn 1 trong mm hoặc nn cách: m+nm+n cách. - Quy tắc nhân: chọn lần lượt mm rồi nn cách: m×nm \times n cách. - Hoán vị: Pn=n!P_n = n! - Chỉnh hợp: Ank=n!(n−k)!A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} - Tổ hợp: Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} Các tính chất xác suất: P(∅)=0P(\emptyset)=0; P(Ω)=1P(\Omega)=1; P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A})=1-P(A); P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). Phần nâng cao — xác suất có điều kiện: P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}; hai biến cố độc lập khi P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

Điểm cần nhớ

  • P(A)=∣A∣/∣Ω∣P(A)=|A|/|\Omega| khi các kết quả đồng đều.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A})=1-P(A) — bù xác suất.
  • Tổ hợp CnkC_n^k: chọn kk phần tử từ nn, không quan tâm thứ tự.
  • Chỉnh hợp AnkA_n^k: chọn kk phần tử có thứ tự.
  • Độc lập: P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).

Lỗi hay gặp

  • Tung đồng xu 3 lần, xác suất được đúng 2 mặt sấp là 23\frac{2}{3}.
    Sửa: ∣Ω∣=23=8|\Omega|=2^3=8; ∣A∣=C32=3|A|=C_3^2=3 (SSN,SNS,NSS); P=3/8P=3/8.
  • Nhầm tổ hợp và chỉnh hợp: C52=20C_5^2=20.
    Sửa: C52=5!2!3!=10C_5^2=\frac{5!}{2!3!}=10; còn A52=5⋅4=20A_5^2=5\cdot4=20 là chỉnh hợp.

Thú vị: Lý thuyết xác suất ra đời từ... cờ bạc: năm 1654 hai nhà toán học Pascal và Fermat trao đổi thư để giải bài toán chia tiền cược dở dang!

Ứng dụng thực tế

Xác suất lượng hóa sự may rủi — nền của bảo hiểm, dự báo và trò chơi.

  • Bảo hiểm: Tính phí dựa trên xác suất rủi ro xảy ra.
  • Trò chơi: Tính cơ hội thắng xổ số, ván bài, tung xúc xắc.
  • Dự báo: Xác suất mưa, dự báo nhu cầu thị trường.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ nhóm 5 nam 3 nữ. PP để chọn được 1 nam 1 nữ?

Lời giải

∣Ω∣=C82=28|\Omega|=C_8^2=28 ∣A∣=C51⋅C31=15|A|=C_5^1\cdot C_3^1=15 P=15/28P=15/28
VÍ DỤ 2
Tung hai súc sắc. PP để tổng bằng 7?

Lời giải

∣Ω∣=36|\Omega|=36; các cặp (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1): 6 cặp P=6/36=1/6P=6/36=1/6

Bài tập thử

1

Gieo một xúc xắc cân đối. Xác suất xuất hiện mặt 66 là

A.\dfrac16
B.\dfrac12
C.\dfrac13
D.1
2

Tung một đồng xu cân đối. Xác suất xuất hiện mặt ngửa là

A.\dfrac12
B.\dfrac14
C.1
D.\dfrac13

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập