MathVN

Dãy số

Dãy số, số hạng tổng quát; dãy tăng/giảm, bị chặn; cho dãy bằng công thức/đệ quy

Trung bìnhđại số

Lý thuyết

Dãy số là hàm số xác định trên tập số nguyên dương, kí hiệu (un)n≥1(u_n)_{n\geq 1}. Dãy hữu hạn và vô hạn. Dãy tăng: un+1>unu_{n+1}>u_n; dãy giảm: un+1<unu_{n+1}<u_n; dãy bị chặn: tồn tại MM sao cho ∣un∣≤M|u_n|\leq M với mọi nn. Cấp số cộng (CSC): un+1−un=du_{n+1}-u_n=d (công sai). un=u1+(n−1)du_n=u_1+(n-1)d. Sn=n(u1+un)2S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}. Cấp số nhân (CSN): un+1/un=qu_{n+1}/u_n=q (công bội, q≠0q\neq 0). un=u1⋅qn−1u_n=u_1\cdot q^{n-1}. Sn=u1qn−1q−1S_n=u_1\dfrac{q^n-1}{q-1} (q≠1q\neq 1). Tổng CSN vô hạn (∣q∣<1|q|<1): S=u11−qS=\dfrac{u_1}{1-q}. Phần nâng cao: nhận dạng CSC/CSN từ bài toán thực tế. Ví dụ: tiết kiệm đều đặn hàng tháng là tổng CSN; nhiệt độ giảm đều là CSC. Xác định dạng dãy: nếu un+1−unu_{n+1}-u_n không đổi → CSC; nếu un+1/unu_{n+1}/u_n không đổi → CSN.

Điểm cần nhớ

  • CSC: công sai d=un+1−und=u_{n+1}-u_n không đổi.
  • CSN: công bội q=un+1/unq=u_{n+1}/u_n không đổi.
  • Tính chất CSC: uk=uk−1+uk+12u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}.
  • Tính chất CSN: uk2=uk−1⋅uk+1u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}.
  • CSN vô hạn ∣q∣<1|q|<1: S=u11−qS=\frac{u_1}{1-q}.

Lỗi hay gặp

  • Áp công thức tổng CSN cho CSC.
    Sửa: CSC: Sn=n(u1+un)/2S_n=n(u_1+u_n)/2. CSN: Sn=u1(qn−1)/(q−1)S_n=u_1(q^n-1)/(q-1). Hai công thức khác nhau.
  • qq của CSN có thể bằng 0.
    Sửa: Định nghĩa yêu cầu q≠0q\neq 0 và un≠0u_n\neq 0. Nếu q=0q=0, mọi số hạng sau số hạng đầu đều bằng 0 — không phải CSN.

Thú vị: Dãy Fibonacci xuất hiện kì lạ trong tự nhiên: số cánh hoa, vòng xoắn vỏ ốc, cách lá mọc — thiên nhiên \"đếm\" theo dãy số!

Ứng dụng thực tế

Dãy số mô tả các đại lượng thay đổi theo từng bước rời rạc.

  • Tài chính: Số dư tài khoản qua từng kỳ là một dãy số.
  • Tin học: Dãy đệ quy (Fibonacci) dùng trong thuật toán, đồ họa.
  • Sinh học: Số lượng cá thể qua từng thế hệ.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
CSC có u1=2u_1=2, d=3d=3. Tính u10u_{10}, S10S_{10}.

Lời giải

u10=2+9⋅3=29u_{10}=2+9\cdot3=29 S10=10⋅(2+29)/2=155S_{10}=10\cdot(2+29)/2=155
VÍ DỤ 2
Ba số hạng liên tiếp CSN có tổng 13 và tích 27. Tìm chúng.

Lời giải

Đặt ba số: a/qa/q, aa, aqaq. Tích: a3=27⇒a=3a^3=27\Rightarrow a=3. Tổng: 3/q+3+3q=13⇒3q2−10q+3=03/q+3+3q=13\Rightarrow 3q^2-10q+3=0 q=3q=3 hoặc q=1/3q=1/3: ba số là 1,3,91,3,9 hoặc 9,3,19,3,1

Bài tập thử

1

Dãy số un=2nu_n=2n có số hạng u3u_3 bằng

A.6
B.5
C.8
D.3
2

Dãy số un=n2u_n=n^{2} có số hạng u4u_4 bằng

A.16
B.8
C.12
D.4

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập