MathVN

Hàm số lượng giác

Hàm sin, cos, tan, cot; tập xác định, tính tuần hoàn, đồ thị, biến thiên

Trung bìnhlượng giác

Lý thuyết

Hàm lượng giác là các hàm sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan, cot⁡\cot với biến là số thực (thay vì góc độ). Chúng tuần hoàn — đây là tính chất đặc trưng quan trọng nhất. Hàm y=sin⁡xy = \sin x và y=cos⁡xy = \cos x: tuần hoàn chu kỳ 2π2\pi; ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\leq 1, ∣cos⁡x∣≤1|\cos x|\leq 1. Hàm y=tan⁡xy = \tan x: TXĐ x≠π/2+kπx \neq \pi/2 + k\pi; tuần hoàn chu kỳ π\pi. Hàm y=cot⁡xy = \cot x: TXĐ x≠kπx \neq k\pi; tuần hoàn chu kỳ π\pi. Hàm y=asin⁡(bx+c)+dy = a\sin(bx+c)+d: - Biên độ ∣a∣|a|; chu kỳ T=2π/∣b∣T = 2\pi/|b|; pha ban đầu cc; dịch dọc dd. Tính chẵn — lẻ: sin⁡\sin và tan⁡\tan, cot⁡\cot là hàm lẻ; cos⁡\cos là hàm chẵn. Phần nâng cao: đồ thị hàm y=asin⁡(bx+c)+dy = a\sin(bx+c)+d — vẽ bằng cách xác định biên độ, chu kỳ và một điểm đặc biệt (gốc pha).

Điểm cần nhớ

  • Chu kỳ sin⁡,cos⁡\sin,\cos: 2π2\pi; chu kỳ tan⁡,cot⁡\tan,\cot: π\pi.
  • y=asin⁡(bx+c)+dy=a\sin(bx+c)+d: biên độ ∣a∣|a|, chu kỳ 2π/∣b∣2\pi/|b|.
  • sin⁡\sin lẻ; cos⁡\cos chẵn; tan⁡,cot⁡\tan,\cot lẻ.
  • TXĐ tan⁡\tan: loại x=π/2+kπx=\pi/2+k\pi; TXĐ cot⁡\cot: loại x=kπx=k\pi.

Lỗi hay gặp

  • Hàm cos⁡\cos là hàm lẻ vì đồ thị "gần" đối xứng gốc.
    Sửa: cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x: hàm chẵn, đồ thị đối xứng trục OyOy.
  • Chu kỳ của y=sin⁡(2x)y=\sin(2x) là 2π2\pi.
    Sửa: Chu kỳ T=2π/∣b∣=2π/2=πT=2\pi/|b|=2\pi/2=\pi.

Thú vị: Mọi bản nhạc số (MP3) được lưu bằng cách phân tích âm thanh thành tổng các hàm sin — hàm lượng giác chính là \"DNA\" của âm nhạc kỹ thuật số!

Ứng dụng thực tế

Hàm số lượng giác mô tả mọi hiện tượng tuần hoàn: sóng, dao động, nhịp sinh học.

  • Âm thanh: Sóng âm là tổng các hàm sin với tần số khác nhau.
  • Điện: Dòng điện xoay chiều biến thiên theo hàm sin.
  • Sinh học: Nhịp sinh học ngày-đêm, thủy triều mang tính tuần hoàn.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Xác định biên độ, chu kỳ của y=3sin⁡(2x−π/4)+1y=3\sin(2x-\pi/4)+1

Lời giải

Biên độ ∣a∣=3|a|=3 Chu kỳ T=2π/2=πT=2\pi/2=\pi Dịch dọc lên 1 đơn vị
VÍ DỤ 2
Tập giá trị của y=2cos⁡x−1y=2\cos x-1

Lời giải

−1≤cos⁡x≤1⇒−2≤2cos⁡x≤2-1\leq\cos x\leq 1 \Rightarrow -2\leq 2\cos x\leq 2 −3≤2cos⁡x−1≤1-3\leq 2\cos x-1\leq 1: tập giá trị [−3,1][-3,1]

Bài tập thử

1

Chu kì của hàm số y=sin⁡xy=\sin x là

A.2\pi
B.\pi
C.\dfrac{\pi}{2}
D.4\pi
2

Giá trị lớn nhất của y=sin⁡xy=\sin x là

A.1
B.0
C.2
D.\pi

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập