MathVN — Học Toán đúng cách

Lý thuyết

Khảo sát hàm số là quá trình phân tích toàn diện tính chất của hàm rồi vẽ đồ thị. Năm bước chuẩn: TXĐ → biến thiên → tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị. Sự biến thiên: tính

f'(x)

, giải

f'(x)=0

, xét dấu xác định khoảng đồng/nghịch biến và cực trị. Tiệm cận đứng:

\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty

; tiệm cận ngang:

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

; tiệm cận xiên:

f(x)-(ax+b)\to 0

. Bốn dạng phổ biến: - Bậc ba

ax^3+bx^2+cx+d

: đường cong bậc ba, không tiệm cận. - Bậc bốn

ax^4+bx^2+c

: đối xứng trục

Oy

, đặt

t=x^2\geq 0

. - Phân thức bậc nhất/bậc nhất

\frac{ax+b}{cx+d}

: hyperbola với hai tiệm cận vuông góc. - Phân thức bậc hai/bậc nhất: tiệm cận xiên. Phần nâng cao: số giao điểm của

y=f(x)

với đường

y=m

bằng số nghiệm của

f(x)=m

— đếm trực tiếp từ bảng biến thiên mà không giải phương trình.

Điểm cần nhớ

Năm bước: TXĐ → biến thiên → tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị.
$f'(a)=0$ chưa chắc là cực trị — phải xét đổi dấu.
$\frac{ax+b}{cx+d}$ : tiệm cận đứng $x=-d/c$ , tiệm cận ngang $y=a/c$ .
Bậc bốn đối xứng: đặt $t=x^2$ khảo sát hàm bậc hai.
Đếm nghiệm $f=m$ : vẽ đường $y=m$ cắt đồ thị.

Lỗi hay gặp

$f'(a)=0$ kết luận ngay là cực trị.
Sửa: Phải xét dấu $f'$ quanh $a$ . Nếu không đổi dấu thì là điểm uốn, không phải cực trị.
$(x-a)$ rút gọn được với tử → $x=a$ là tiệm cận đứng.
Sửa: Nếu $(x-a)$ triệt tiêu, đó là lỗ hổng (hole), không phải tiệm cận đứng.

Thú vị: Đồ thị nồng độ thuốc trong máu (tăng rồi giảm, có cực đại) chính là một bài khảo sát hàm số — bác sĩ dựa vào đó để kê liều và khoảng cách giữa các lần uống!

Ứng dụng thực tế

Khảo sát hàm số cho bức tranh đầy đủ về hành vi của một quá trình.

Kinh tế: Phân tích đồ thị lợi nhuận, chi phí để ra quyết định.
Y học: Đồ thị nồng độ thuốc theo thời gian giúp định liều.
Kỹ thuật: Khảo sát đặc tuyến để thiết kế hệ thống ổn định.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Khảo sát

y=x^3-3x+2

Lời giải

y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

; cực đại

f(-1)=4

, cực tiểu

f(1)=0

Giao

Ox

tại

x=1

(tiếp xúc) và

x=-2

Đồ thị hình chữ S, không tiệm cận

VÍ DỤ 2

Số nghiệm của

x^3-3x+2=m

Lời giải

Từ bảng biến thiên: cực đại 4, cực tiểu 0

m>4

hoặc

m<0

: 1 nghiệm;

m=4

hoặc

m=0

: 2 nghiệm;

0<m<4

: 3 nghiệm

Bài tập thử

Nếu $f^{\prime}(x)>0$ với mọi $x\in(a;b)$ thì hàm số $f$

A.\text{đồng biến trên }(a;b)

B.\text{nghịch biến trên }(a;b)

C.\text{không đổi}

D.\text{có cực trị}

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

A.y=2x+1

B.y=-x

C.y=x^{2}

D.y=\dfrac{1}{x}

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập