MathVN

Nguyên hàm

Định nghĩa, tính chất; nguyên hàm cơ bản; phương pháp đổi biến và từng phần

Trung bìnhgiải tích

Lý thuyết

Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm: F(x)F(x) là nguyên hàm của f(x)f(x) nếu F′(x)=f(x)F'(x)=f(x). Họ tất cả nguyên hàm: F(x)+CF(x)+C. Bảng nguyên hàm cơ bản: ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n≠−1n\neq-1); ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C; ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx=e^x+C; ∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C; ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int\sin x\,dx=-\cos x+C; ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int\cos x\,dx=\sin x+C. Kỹ thuật 1 — Đổi biến: thấy dạng f(g(x))⋅g′(x)f(g(x))\cdot g'(x), đặt u=g(x)u=g(x). Sau khi tính theo uu, thay ngược về xx. Kỹ thuật 2 — Từng phần: ∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv=uv-\int v\,du. Chọn uu theo thứ tự LIATE. Phần nâng cao: ∫sin⁡2x dx\int\sin^2 x\,dx — dùng sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} trước khi tích phân.

Điểm cần nhớ

  • Không bỏ hằng số CC.
  • Đổi biến: sau tính theo uu, thay ngược u=g(x)u=g(x).
  • Từng phần LIATE: Logarit→Nghịch lg→Đa thức→Mũ→Lượng giác.
  • ∫x−1 dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C, không dùng công thức lũy thừa.
  • Kiểm tra: đạo hàm kết quả phải trả về f(x)f(x).

Lỗi hay gặp

  • ∫x−1 dx=x0/0+C\int x^{-1}\,dx=x^0/0+C.
    Sửa: n=−1n=-1 là ngoại lệ: ∫x−1 dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C.
  • Từng phần ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,dx: chọn u=xu=x.
    Sửa: LIATE: logarit ưu tiên hơn đa thức. Chọn u=ln⁡xu=\ln x, dv=x dxdv=x\,dx.

Thú vị: Newton và Leibniz tranh cãi gay gắt suốt đời ai phát minh phép tính tích phân trước — một trong những vụ \"tranh chấp bản quyền\" nổi tiếng nhất lịch sử khoa học!

Ứng dụng thực tế

Nguyên hàm là phép "đảo ngược" đạo hàm — tìm lại quá trình từ tốc độ thay đổi.

  • Vật lý: Từ vận tốc tìm lại quãng đường (nguyên hàm của vận tốc).
  • Kinh tế: Từ chi phí cận biên tìm lại tổng chi phí.
  • Kỹ thuật: Khôi phục tín hiệu gốc từ tốc độ biến thiên.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1
Tính ∫ln⁡xx dx\int\frac{\ln x}{x}\,dx

Lời giải

Đặt u=ln⁡xu=\ln x, du=dx/xdu=dx/x =∫u du=u2/2+C=(ln⁡x)2/2+C=\int u\,du=u^2/2+C=(\ln x)^2/2+C
VÍ DỤ 2
Tính ∫xex dx\int xe^x\,dx

Lời giải

u=xu=x, dv=ex dxdv=e^x\,dx; v=exv=e^x =xex−∫ex dx=xex−ex+C=ex(x−1)+C=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C

Bài tập thử

1

Một nguyên hàm của f(x)=2xf(x)=2x là

A.x^{2}
B.2
C.x^{2}+x
D.2x^{2}
2

∫3 dx\displaystyle\int 3\,dx bằng

A.3x+C
B.3+C
C.\dfrac{3}{x}+C
D.x^{3}+C

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập