MathVN — Học Toán đúng cách

Lý thuyết

Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R². Dạng tổng quát x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 là mặt cầu khi a²+b²+c²-d>0, R=√(a²+b²+c²-d). Vị trí với mặt phẳng so sánh d(I,P) với R.

Điểm cần nhớ

Chính tắc: (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²
Tổng quát là mặt cầu ⟺ a²+b²+c²-d>0
Tâm I(a;b;c), R=√(a²+b²+c²-d)
So sánh h=d(I,(P)) với R để xét vị trí
Cắt mặt phẳng → đường tròn r=√(R²-h²)

Lỗi hay gặp

Lấy R = a²+b²+c²−d (quên căn bậc hai)
Sửa: R = √(a²+b²+c²−d).
Nhầm dấu tọa độ tâm
Sửa: Hệ số của x là −2a nên tâm có hoành độ +a.
Không kiểm tra điều kiện a²+b²+c²−d>0
Sửa: Nếu ≤0 thì không phải mặt cầu.

Thú vị: GPS hoạt động nhờ giao của các mặt cầu: cần ít nhất 4 vệ tinh để xác định chính xác vị trí 3 chiều của bạn — đúng là hình học không gian trong túi quần!

Ứng dụng thực tế

Phương trình mặt cầu mô tả mọi vật thể hình cầu trong không gian 3 chiều — từ định vị GPS đến đồ họa máy tính.

Định vị GPS: Mỗi vệ tinh xác định một mặt cầu các vị trí có thể; giao của nhiều mặt cầu cho ra tọa độ chính xác của bạn.
Đồ họa 3D: Game và phim hoạt hình dùng phương trình mặt cầu để dựng hình, kiểm tra va chạm giữa các vật thể.
Vật lý: Vùng ảnh hưởng của sóng âm, sóng nổ lan tỏa dạng mặt cầu đồng tâm.

Ví dụ minh hoạ

VÍ DỤ 1

Lời giải

1. Tâm I(1;-2;0), R=3.

VÍ DỤ 2

Lời giải

VÍ DỤ 3

Lời giải

1. −2a=−2, −2b=−4, c=0, d=−4. 2. 3.

Bài tập thử

Mặt cầu $(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ có bán kính

A.3

B.9

C.1

D.\sqrt{3}

Tâm của mặt cầu $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=4$ là

A.(-1;2;0)

B.(1;-2;0)

C.(1;2;0)

D.(-1;-2;0)

Còn hàng trăm bài tập nữa

Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn

Đăng nhập