Lý thuyết
Bài toán tối ưu thực tế quy về tìm GTLN/GTNN của hàm số. Quy trình: chọn ẩn và điều kiện, lập hàm cần tối ưu, dùng đạo hàm khảo sát, kết luận và đối chiếu thực tế. Nghiệm phải nằm trong miền và có ý nghĩa.
Điểm cần nhớ
- Tối ưu thực tế = tìm GTLN/GTNN của hàm lập được
- Bước 1: chọn ẩn + đặt điều kiện (miền D)
- Bước 2: lập hàm mục tiêu f(x)
- Bước 3: dùng f'(x) và bảng biến thiên
- Luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện thực tế và biên miền D
Lỗi hay gặp
- Quên đặt điều kiện cho ẩnSửa: Đại lượng hình học phải dương; số lượng vật phải nguyên — đặt điều kiện ngay từ đầu.
- Bỏ qua giá trị tại biên của miềnSửa: GTLN/GTNN có thể đạt tại biên; phải so sánh cả điểm tới hạn lẫn biên.
- Lấy nghiệm không thuộc miền DSửa: Loại nghiệm nằm ngoài điều kiện thực tế.
Thú vị: Lon nước ngọt thực tế hơi cao hơn tỉ lệ tối ưu h=2r — vì nhà sản xuất còn tính tới việc cầm nắm dễ và hiển thị thương hiệu, không chỉ tiết kiệm nhôm!
Ứng dụng thực tế
Đạo hàm biến bài toán tối ưu thành công thức — nền tảng của thiết kế kỹ thuật và kinh tế.
- Sản xuất: Thiết kế lon nước, thùng carton sao cho tốn ít vật liệu nhất mà vẫn đủ thể tích → tiết kiệm chi phí hàng triệu sản phẩm.
- Kinh tế: Doanh nghiệp tìm mức sản lượng để lợi nhuận tối đa bằng đạo hàm hàm lợi nhuận.
- Logistics: Tối ưu lộ trình, kích thước kho để giảm chi phí vận hành.
Ví dụ minh hoạ
VÍ DỤ 1
Lời giải
1. Gọi một cạnh là x (0<x<20), cạnh kia 20-x.
2. S theo x.
3. S'(x)=20-2x=0.
4. Hình vuông cạnh 10m, S=100 m^2.
VÍ DỤ 2
Lời giải
1. 0<x<6.
2. Đáy (12-2x), cao x.
3. V'(x)=12(6-x)(2-x), nghiệm trong miền x=2.
4. x=2dm cho V lớn nhất = 128 dm^3.
VÍ DỤ 3
Lời giải
1. Thể tích cố định.
2. Toàn phần theo r.
3. S'(r)=4\pi r-2V/r^2=0.
4. Thay lại được h=2r.
Bài tập thử
1
Bài toán tìm kích thước để diện tích/thể tích lớn nhất quy về tìm
A.\text{GTLN/GTNN của một hàm số}
B.\text{nghiệm phương trình}
C.\text{tiệm cận}
D.\text{tập xác định}
2
Hình chữ nhật có chu vi không đổi, diện tích lớn nhất khi nó là
A.\text{hình vuông}
B.\text{rất dài}
C.\text{rất hẹp}
D.\text{tam giác}
Còn hàng trăm bài tập nữa
Đăng nhập miễn phí để luyện không giới hạn